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非标准分析简介

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本文为金人麟教授2016年发表于《中国科学:数学》的《非标准分析及其应用》节选,仅包含第一部分“简介”。为阅读方便,我们略去了参考文献。文末有讲座消息,不要错过。

非标准分析简介

Renlin Jin(金人麟)

查尔斯顿学院数学系教授

摘要:本文简略介绍非标准分析基础和在其他数学分支中的应用, 特别是在组合数论中的应用. 所介绍的基础包含了数理逻辑常识, 非标准模型构造, 非标准分析常用原理和性质. 所介绍的应用包含了随机微分方程强解的存在性, 关于局部群的Hilbert第五问题, 精确大数定律及其在经济学中的应用, 组合数论中的和集现象, 关于密度的Plnnecke类型不等式, 和Freiman 逆问题.

关键词:非标准分析; 数理逻辑; Loeb空间; 随机微分方程; Hilbert第五问题; 精确大数定律; 组合数论; 和集现象; Plnnecke类型不等式; Freiman逆问题

1 简介

我们假设读者已学过数学分析课程或实分析课程并有一些关于测度空间的知识.

1.1 非标准分析合理性

在现实世界里, 无穷大量和无穷小量可以被认为不是一种客观存在, 而是理性思维的产物. 在通常的微积分或实分析的教科书中, 为了方便, 常常引入记号称之为无穷大和称之为无穷小. 显然通常所介绍的无穷大和无穷小并不是两个数, 因为它们不满足我们对数的通常要求, 比如数应该可以参与加减乘除运算, 且满足数域的一些规则, 如消去律等.

非标准分析的最基本特征是引入无穷大数和无穷小数. 但是为什么要在我们的数字系统中引入无穷大数和无穷小数?引入无穷大数和无穷小数是纯粹的逻辑游戏呢还是对数学在客观世界中的应用有所帮助?微积分里介绍的或不能被视为数字, 怎么办?

数字系统的扩张是客观世界的需求和内在逻辑双重引导下的产物. 自然数集的引进“自然”应该是牧民点羊, 将军点卯, 国王点金币, 等等行为的需要, 自然数集上的加法必定会引出减法, 而减法又会引导人们接受零和负整数, 从而组成整数集使之成为加法群. 为了简化同数连加的繁琐, 在整数集上可引进乘法, 而乘法的引进必定导致对除法的接纳, 而除法必定会引导人们接受分数概念, 从而把数字系统扩充成了有理数域. 同样, 为了简化同数多次相乘, 整数幂运算被引进, 而幂运算的逆运算又不可避免地要求我们接受那些代数无理数, 再加上一些超越无理数的出现, 数字系统又必须被扩充. 假设完备性公理, 即每个有上界的非空子集必有上确界, 数字系统的扩张即可一步到位, 即扩张成现在通常使用的实数系统, 即一个完备的有序域, 称为实数域.

在以上数字系统的扩张过程中, 有一点很重要:我们除了在旧系统中加入新的元素, 还要保证在旧系统上定义的各种数学运算能推广到新系统上, 即新系统是旧系统上的相容扩张. 例如在有理数域上的加法定义为. 如果, 即和是整数, 以上的定义就和整数上的加法一致. 再比如, 对任意两个非负有理数, 不等式推出不等式. 所以在实数域上, 当是任意两个非负实数的时候我们当然也需要有推出. 如果我们要引进无穷大数和无穷小数从而进一步扩张实数域, 我们必须把数学运算和一些性质相容地推广到新的结构上去. 比如我们希望扩张了的结构也是一个有序域, 再比如我们希望通常的三角函数公式和其他类似的公式在新的结构中仍成立, 等等.

在一元微分学中, 我们需要解释的意义. 直观地讲, 符号就是两个无穷小数的商. 所以我们有引进无穷小数的客观需要和逻辑动力. 在经典的微积分教科书中, 无穷小量被解释为两个可比较的极限过程, 而不是数. 这当然能解决问题, 但是也使得数学的推导变得相对复杂. 但是如果把定义为无穷小数, 我们就必须使能和其他实数比较大小, 能参与加减乘除等运算. 另外, 在我们的实数域中如果加了一个数, 就必须再加入很多和相关的数, 例如:

为了证明无穷小数是相容的, 即加入无穷小数不会和现有的实分析产生矛盾, 我们需要构造一个有序数域, 称为非标准实数域, 使得

(1)通常的实数域是其子域;

(2)非标准实数域包含了非零正无穷小数, 即此类数中每一个数都小于任何通常的实数域中的正实数;

(3)非标准实数域满足绝大部分在通常实数域中成立的性质. 让我们称通常的实数域为标准实数域. 构造这样的非标准实数域我们需要使用数理逻辑中模型论的方法.

当然标准实数域和非标准实数域不是相同的个体. 它们一定会满足一些不同的性质. 例如有理数域和实数域不是相同的结构, 虽然后者也是前者的相容扩张, 但是有理系数方程在实数域中有解而在有理数域中无解. 有什么性质在标准实数域中成立而在非标准实数域中不成立呢?

如果读者已学过实分析课程, 大概知道实数域的完备性阻止了实数域作为一个有序域的进一步扩张. 如果我们在实数域中加入无穷小数, 那么在非标准实数域中所有无穷小数组成的集合就是非空, 有上界, 但无上确界. 所以完备性公理在非标准实数域中必不再成立. 但这应该不会产生大问题. 一方面完备性公理是一条公理, 接受或不接受对数学在现实世界的应用并不产生实质影响, 另一方面标准实数域是非标准实数域的子域, 如有必要使用完备性公理我们可以退回到标准实数域中去.

作者在和他人讨论非标准分析时, 常听到初学者抱怨无穷大数或无穷小数不是客观存在的反映,所以不见得会有用. 但这种情况其实在引进无穷小数之前就已存在. 在标准实数域中, 因为完备性, 存在不可数个实数, 但因为语言的限制, 所有可以被我们叙述的实数最多只有可数多个. 所以大部分标准实数域中的实数是我们无法叙述的, 也不是客观存在的反映. 但这并不妨碍完备性所带来的数学推导上的便利. 我们引入无穷小数的目的不仅仅是为了结构上的完美, 更重要的也是在引进了无穷小数后所带来的数学推导上的优势. 在本文的最后两节我们会介绍一些当前非标准分析在其他标准数学分支 中的应用, 希望读者能在其中体会到非标准分析方法的有用之处.

1.2 非标准分析简史

在此一小节中我们简单介绍非标准分析历史. 本文作者不是数学史专家, 这一小节中的大部分信息来源于二手资料. 读者如有进一步兴趣可参看[18, 23, 37, 42, 44] 或其它相关著作.

在古希腊时代阿基米德曾使用基于直观上的无穷小数解决几何问题. 十七世纪后期, 在微积分被发明的过程中, I. Newton 和G. Leibniz 都把无穷小数作为数字来定义导数和进行数学推导. 作为物理学家, Newton 对待无穷小数, 较从实用出发. 而作为哲学家, Leibniz 更对无穷小数的本质感兴趣. 所以我们一般都把Leibniz 作为在严格意义上提出无穷小数概念的第一人. 但是Newton 和Leibniz 都没能解决无穷小数的相容性问题.

在以后将近二百年里研究微积分的数学家们常使用无穷小数来解决数学问题, 而把无穷小数存在的相容性搁置一边. 例如大数学家L. Euler 曾用无穷大数来导出指数, 对数, 和三角函数的级数公式(参看[18, 第8 页]). 马克思在其数学手稿中也使用无穷小数并对无穷小数的合理性进行了哲学意义上的讨论. 虽然无穷小数有实用价值, 但相容性证明的缺失, 总是一个挥之不去的阴影, 以至微积分在当时受到一些人的攻击, 其中最为代表的是十八世纪三十年代英国著名主教G. Berkeley 对无穷小数的批评. Berkeley 的观点简单地说就是:无穷小数作为一个非零数参与运算, 而在使导出的结果回到标准世界中无穷小数又必须像零一样被忽略, 所以无穷小数是介于零和非零之间的怪物, 所以无穷 小数可能是一个自相矛盾的概念.

在十九世纪, K. Weierstrass, A. L. Cauchy, 和其他一些数学家在共同努力下发展出了一套极限理 论, 给出了一个极限的定义, 从而解决了微积分的基础问题. 但是解决的方法和Newton 和Leibniz的思想并不一样. 例如假设是一个运动物体和一个定点之间的一维距离函数, 这物体在时间的速度等于的定义是:

即对于任意正实数, 总存在另一个正实数使得在长度小于的时间区间上, 物体的平均速度和的差总小于. 这样一来, 就被看作为一个在不断缩小的时间区间上平均速度的极限, 而不是两个无穷小数和的商. 极限的定义避免了无穷小数的引进, 是一个划时代的成就. 从那以后一 直到上世纪五十年代末, 无穷小数便基本不再出现在数学基础的讨论之中.

但是极限的定义使用了三次交替量词符号. 在数理逻辑中, 交替量词符号在一个逻辑公式中出现的次数是一种衡量公式复杂度的标志. 所以在一定意义下极限的定义是比较复杂的, 也欠直观, 初学微积分的学生往往会觉得较难理解和掌握. 这作为一个普遍现象大概是因为定义的较高复杂度. 如果被定义为两个无穷小数的商∗(作者注:严格来讲, 标准实数域上可微函数 对自变量的导数是两个无穷小数的商的标准化.), 就比较简单直观, 牵涉到的量词符号也相对少. 当然这所谓的直观和简单是在非标准实数域已经被接受为寻常所使用的数字系统为前提的.

无穷小数相容性的建立和非标准分析的发明归功于A. Robinson [51]. Robinson 是一位重要的数理逻辑学家. 在上个世纪五十年代末到六十年代初, Robinson 使用了数理逻辑中紧致性定理成功构造了一个标准实数域的扩张使得是个有序域, 包含了非零无穷小数, 并且任意一阶语句在中为真当且仅当在中为真, 这里是个标准实数作为语句中的参数. 这个性质通常被称为转换原理(Transfer Principle). Robinson 在构造了非标准实数域的同时, 还做了一些应用, 其中最有名的是和A. R. Bernstein 一起用非标准分析方法解决了标准泛函分析中关于Hilbert 空间中一类闭子空间存在性的一个公开问题.

为了使非标准分析的应用更加广泛, 在上世纪六十年代末, Robinson 和E. Zakon [52] 建立了超结构的非标准扩张. 超结构不但包含了实数域, 还包含了更高阶的数学实体, 例如实数域或复数域上的函数空间, 函数空间上的算子空间, 算子空间上的代数, 等等. 从那以后, 超结构的非标准扩张就成为了大部分非标准分析学者们工作的一个基本框架.

实数结构或超结构的非标准扩张可以用模型论中的超幂构造方法来完成. 超幂构造方法在模型论中已被使用了一段时间, 但被用于构造超结构的非标准扩张则是在上世纪六十年代末由W. A. J. Luxemburg 第一次进行[45]. Luxemburg 还把模型论中的饱和性引入非标准分析中. 饱和性后来成了非标准分析中非常有用的工具. 在上世纪七十年代初P. Loeb 建立了Loeb 测度空间理论[43]. Loeb测度空间是非标准分析在所有和测度及概率有关的数学分支中应用的主要工具之一. 自从本世纪初, 本文作者致力于非标准分析在组合数论中的应用, 也得到了很多有趣的结果.

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发布于:广东

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