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如何手算开平方?学会这个你又能跟小伙伴炫耀了!

李永乐老师

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各位同学大家好!今天是大年初三!先给大家拜个年!祝新的一年身体健康!财源滚滚!

今天,我要来教大家一个关于“根”的技——手算开平方根!学了这个技能,在新的一年中,你又能在小伙伴面前炫耀啦!

一 连分数法

手算开平方的方法其实有很多,我先来教大家一种连分数的方法。如果要计算一个数s的平方根,只需要把这个数写成s=a^2+b (a2>>b)的形式,然后就可以通过下面的式子计算:

观察这个式子,你会发现:除了第一项是a,其余的加号前面都是2a,分子都是b,很好记。这个连分数有无限多层,但是我们在计算过程中不需要取无限多层,只需要一两层,就能得到很好的效果。

比如,我们要计算150的平方根。我们将150写成144+6,前者是12的平方,即150=12^2+6,也就是在(1)式中a=12,b=6

我们可以按照不同的精度,分别取0层、1层、2层…近似

如果我们用计算机按出根号150,它等于12.2474487…,大家会发现,其实1层近似就已经很准确了,到了2层近似的时候,已经准确到小数点后第四位了,误差在百万分之二,怎么样?还是很不错的方法吧!

这种方法的证明也不难。如下:

大家观察最后一个表达式:左右两侧都等于√s,而在右侧表达式的右下角还有√s。于是,我们可以把右侧整个代入到右下角的√s中。

把绿色框内部分代入红色的框

这样就得到

大家看,这样就出现了一个2a。我们可以重复这个步骤,用(2)中的绿色框再次替代(3)中右下角的√s,这样就得到了:

如此,我们反反复复计算下去,就会得到最初的结论(1)了。怎么样?简单吧!

二 长除法

除了刚才的方法,还有一种很方便的方法——长除法,看起来和我们小学时候学过的除法长得差不多。它大体有分段、试根、求余项、更新余项等几个步骤,其中试根和求余项要反复进行。与普通的除法不同的是:它求出的每一位商与除数的末尾是相同的。我们举个例子:求1234的平方根。在求解过程中,我用同样颜色的方框表示同样的数字。

1. 分段:从小数点开始,向左和向右每两位分一段。1234分段后就是12,34 . 00,00,…分段之后,每一段上面要求出一个一位数字的商,一共有4位数。这些商合起来就是所求的平方根的前几位。注意:平方根的小数点与原来的小数点对齐。

2. 试根 首先计算第一段【12】上面的商,类似于除法,我们要找到一个除数和商,它们的乘积最接近12,又小于12. 与普通除法不同的是:除数和商需要是同样的一位数字。显然,这个数字是3,3x3=9。然后把12和9做减法,得到余项3。

3. 更新余项:将第二段【34】落下来,构成新的余项334。

4. 乘20:这一步是理解算法的关键。我们需要将原来已经得到的商乘以20,然后把除了最后一位0以外的其他数字写到刚才得到的余项的左侧,构成新的除数的一部分。例如:已经得到了第一段的商是3,乘以20得到60,把0空着,数字6写到余项334的左侧:

5. 再试根。现在要求第二位商,它必须和第二个除数末位数字相同。而且,按照除法规则,第二位商和除数的乘积不能超过余项334。经过尝试,第二位的商最大可以填5. 5x65=325,再用334-325求出新的余项9.

6. 再将00段落下,更新余项为900, 重复上述过程:将已经得到的商35乘20,把结果700写到除数上,但留下最后一位不写。

7. 求第三位的商,这个商与除数末位数字相同,并且二者乘积不超过900,应该商1,1x701=701,再求出余项900-701=199。

8. 按照同样的方法,将后一段00落下,把刚得到的商351乘20,并加上一个待定的数字写在除数的位置上,这个待定的数字要与第四位商相同,二者的乘积不超过19900. 这个商是2

按照这样的方法,只要我们愿意,就能手动得到任意精度的平方根。实际上,1234的平方根是35.128336… 前面几位正是35.12

这个方法的证明也不难。我们假设一个数字s的平方根是两位数,它的十位是a,个位是b,我们写作

将这个式子两边平方

再进行移项,和提公因式,得到

大家看,左边有s-100a^2,100代表了两位数字一段,每一段要求一次余项。右侧有20a,就是把之前得到的商乘以20,然后加上b乘上b,意思是除数的最后一位和商必须是相同的数字。如果两侧刚好相等,就说明开根号完成了,这恰恰就是刚才我们的计算过程。实际上,a不一定是一位数,它可以代表一串数字,这种算法具有普遍性。

怎么样?这么炫酷的技能学会了没有?快去跟小伙伴们炫耀吧!

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